아벨 변환

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 응용
- 3.1. 급수 수렴 판정
4. 예
5. 뉴턴 급수를 이용한 표현
6. 역사
7. 유사 개념
- 7.1. 부분 적분법
참조

1. 개요

아벨 변환은 임의의 자연수와 복소수 또는 가군 원소의 두 묶음에 대해 성립하는 공식으로, 급수의 수렴 판정에 활용된다. 이 변환은 두 수열의 부분합을 부분 적분과 유사하게 표현하며, 교대급수 판정법, 디리클레 판정법, 아벨 판정법, 크로네커 보조정리 등 다양한 급수 수렴 판정을 증명하는 데 사용된다. 아벨 변환은 뉴턴 급수를 이용하여 표현될 수 있으며, 19세기 노르웨이 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름을 따서 명명되었다.

2. 정의

'''아벨 변환'''에 따르면, 임의의 자연수 $n\ge0$ 및 두 묶음의 복소수 $a_0,a_1,\dots,a_n\in\mathbb C$ 및 $b_0,b_1,\dots,b_n\in\mathbb C$ 에 대하여,

: $A_i=a_0+a_1+\cdots+a_i\qquad(i=0,1,\dots,n)$

라고 하였을 때, 다음 공식이 성립한다.^[6]

: $\sum_{i=0}^na_ib_i=A_nb_n+\sum_{i=0}^{n-1}A_i(b_i-b_{i+1})$

보다 일반적으로, 가환환 $K$ 및 $K$ -가군 $V$ , $W$ , $M$ 및 $K$ -쌍선형 변환 $\phi\colon V\otimes W\to M$ 이 주어졌을 때, 임의의 자연수 $n\ge0$ 및 두 묶음의 가군 원소 $a_0,a_1,\dots,a_n\in V$ 및 $b_0,b_1,\dots,b_n\in W$ 에 대하여,

: $A_i=a_0+a_1+\cdots+a_i\in V\qquad(i=0,1,\dots,n)$

라고 하였을때 다음 공식이 성립한다.

: $\sum_{i=0}^n\phi(a_i,b_i)=\phi(A_n,b_n)+\sum_{i=0}^{n-1}\phi(A_i,b_i-b_{i+1})$

이는 단순히 식을 전개하고 재배열하여 증명할 수 있다.

두 개의 수열 $\{f_k\}$ 와 $\{g_k\}$ 가 있다고 가정하자. 그러면,

: $\sum_{k=m}^n f_k(g_{k+1}-g_k) = \left(f_{n+1}g_{n+1} - f_m g_m\right) - \sum_{k=m}^n g_{k+1}(f_{k+1}- f_{k}).$

전방 차분 연산자 $\Delta$ 를 사용하여 더 간결하게 표현하면 다음과 같다.

: $\sum_{k=m}^n f_k\Delta g_k = \left(f_{n+1} g_{n+1} - f_m g_m\right) - \sum_{k=m}^{n} g_{k+1}\Delta f_k,$

다른 표현은 다음과 같다.

: $f_n g_n - f_m g_m = \sum_{k=m}^{n-1} f_k\Delta g_k + \sum_{k=m}^{n-1} g_k\Delta f_k + \sum_{k=m}^{n-1} \Delta f_k \Delta g_k$

두 개의 주어진 수열 $(a_n)$ 과 $(b_n)$ 에 대해, $n \in \N$ 일 때, 다음 급수의 합을 연구하고자 한다.

: $S_N = \sum_{n=0}^N a_n b_n$

만약 $\displaystyle B_n = \sum_{k=0}^n b_k$ 로 정의하면, 모든 $n>0$ 에 대해 $b_n = B_n - B_{n-1}$ 이고,

$S_N = a_0 b_0 + \sum_{n=1}^N a_n (B_n - B_{n-1})$

$S_N = a_0 b_0 - a_1 B_0 + a_N B_N + \sum_{n=1}^{N-1} B_n (a_n - a_{n+1})$

결과적으로 $\displaystyle S_N = a_N B_N - \sum_{n=0}^{N-1} B_n (a_{n+1} - a_n).$ 이 과정을 아벨 변환이라고 부른다.

3. 응용

아벨 변환은 교대급수 판정법, 디리클레 판정법, 아벨 판정법, 크로네커 보조정리 등 급수의 수렴과 관련된 여러 명제들을 증명하는 데 사용된다.^[2] 특히, 아벨 판정법은 어떤 급수가 수렴할 때, 특정 조건을 만족하는 수열을 곱한 급수도 수렴함을 보이는 데 사용된다.

아벨 변환은 이 외에도 다음과 같은 분야에 응용된다.

니코마코스 정리 증명: 처음 $n$ 개의 세제곱의 합이 처음 $n$ 개의 양의 정수의 합의 제곱과 같다는 정리이다.^[2]
아벨의 정리 증명^[2]

3. 1. 급수 수렴 판정

아벨 변환은 교대급수 판정법, 디리클레 판정법, 아벨 판정법, 크로네커 보조정리 등 급수의 수렴과 관련된 여러 명제들을 증명하는 데 사용된다.^[2]

두 수열

(a_n)

과

(b_n)

에 대해,

n \in \N

일 때, 다음 급수의 합을 고려한다.

:

S_N = \sum_{n=0}^N a_n b_n

B_n = \sum_{k=0}^n b_k

로 정의하면, 모든

n>0

에 대해

b_n = B_n - B_{n-1}

이 성립하며, 다음을 얻는다.

:

S_N = a_0 b_0 + \sum_{n=1}^N a_n (B_n - B_{n-1}) = a_0 b_0 - a_1 B_0 + a_N B_N + \sum_{n=1}^{N-1} B_n (a_n - a_{n+1})

결과적으로 다음이 성립한다.

:

S_N = a_N B_N - \sum_{n=0}^{N-1} B_n (a_{n+1} - a_n)

이 과정을 아벨 변환이라 하며,

S_N

의 수렴성을 판정하는 데 사용된다.

3. 1. 1. 교대급수 판정법

아벨 변환을 사용하면 교대급수 판정법의 수렴성을 증명할 수 있다.

3. 1. 2. 디리클레 판정법

아벨 변환은 급수의 수렴성을 증명하는 데 유용하게 사용될 수 있다. 특히, 디리클레 판정법을 증명할 때 아벨 변환이 사용된다.

두 수열

(a_n)

과

(b_n)

에 대해,

S_N = \sum_{n=0}^N a_n b_n

라는 급수의 합을 생각해보자. 여기서

B_n = \sum_{k=0}^n b_k

라고 정의하면,

b_n = B_n - B_{n-1}

(

n>0

)이 된다. 이를 이용하여

S_N

을 다시 쓰면 다음과 같다.

:

S_N = a_N B_N - \sum_{n=0}^{N-1} B_n (a_{n+1} - a_n)

이러한 변형을 아벨 변환이라고 하며, 이 식을 통해

S_N

의 수렴성을 판정하는 여러 방법들을 증명할 수 있다.

3. 1. 3. 아벨 판정법

이 기법을 사용하여 아벨 판정법을 증명할 수 있다. 즉,

\sum_n b_n

이 수렴하는 급수이고,

a_n

이 유계인 단조 수열이면

S_N = \sum_{n=0}^N a_n b_n

이 수렴한다.^[2]

'''아벨 판정법의 증명.''' 부분합을 사용하면,

\begin{align}S_M - S_N &= a_M B_M - a_N B_N - \sum_{n=N}^{M-1} B_n (a_{n+1} - a_n)\\&= (a_M-a) B_M - (a_N-a) B_N + a(B_M - B_N) - \sum_{n=N}^{M-1} B_n (a_{n+1} - a_n),\end{align}

여기서 ''a''는

a_n

의 극한이다.

\sum_n b_n

이 수렴하므로

B_N

은

N

에 관계없이 유계이며,

B

로 나타낼 수 있다.

a_n-a

가 0으로 가므로 처음 두 항도 0으로 간다. 세 번째 항은

\sum_n b_n

에 대한 코시 수렴 판정법에 의해 0으로 간다. 나머지 합은

\sum_{n=N}^{M-1} |B_n| |a_{n+1}-a_n| \le B \sum_{n=N}^{M-1} |a_{n+1}-a_n| = B|a_N - a_M|

와 같이

a_n

의 단조성에 의해 유계이며,

N \to \infty

일 때 0으로 간다.

위와 동일한 증명을 사용하여 다음을 보일 수 있다.

# 부분 합

B_N

이

N

에 관계없이 유계 수열을 형성하고,

#

\sum_{n=0}^\infty |a_{n+1} - a_n| < \infty

(따라서 합

\sum_{n=N}^{M-1} |a_{n+1}-a_n|

이

N

이 무한대로 갈 때 0으로 간다.)

#

\lim a_n = 0

그러면

S_N = \sum_{n=0}^N a_n b_n

이 수렴한다.

두 경우 모두 급수의 합은 다음을 만족한다.:

|S| = \left|\sum_{n=0}^\infty a_n b_n \right| \le B \sum_{n=0}^\infty |a_{n+1}-a_n|.

3. 1. 4. 크로네커 보조정리

아벨 변환은 크로네커 보조정리를 증명하는 데 사용된다.^[2] 크로네커 보조정리는 확률론에서 대수의 강한 법칙을 증명하는 데 사용된다.^[2]

4. 예

두 개의 수열 $(a_n)$ 과 $(b_n)$ 이 주어졌을 때, $n \in \N$ 에 대해 급수의 합 $S_N = \sum_{n=0}^N a_n b_n$ 을 생각해 보자.

만약 $\displaystyle B_n = \sum_{k=0}^n b_k$ 로 정의하면, 모든 $n>0$ 에 대해 $b_n = B_n - B_{n-1}$ 이 성립한다. 이를 $S_N$ 에 대입하면 다음과 같이 정리할 수 있다.

: $S_N = a_0 b_0 - a_1 B_0 + a_N B_N + \sum_{n=1}^{N-1} B_n (a_n - a_{n+1}).$

최종적으로 다음 식을 얻는다.

: $\displaystyle S_N = a_N B_N - \sum_{n=0}^{N-1} B_n (a_{n+1} - a_n).$

이러한 과정을 아벨 변환이라고 하며, 이 변환은 $S_N$ 의 수렴 여부를 판정하는 데 유용하게 사용된다. 등차수열의 합, 제곱수의 합, 교대급수 등이 아벨 변환의 예시이다.

4. 1. 등차수열의 합

아벨 변환을 이용하여 등차수열의 합 공식을 유도할 수 있다. 처음

n

개의 양의 정수의 합

:

\sum_{k=1}^nk=1+2+\cdots+n

을 구하는 과정은 다음과 같다.

:

a_n=1

:

b_n=k

라고 하면, 첫 번째 수열의 부분합은

:

A_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=\underbrace{1+1+\cdots+1}_n=n

이다. 따라서, 등차수열의 합에 아벨 변환을 적용하면 다음을 얻는다.

:

\begin{align}\sum_{k=1}^nk&=\sum_{k=1}^n(1\cdot k)\\&=n\cdot n+\sum_{k=1}^{n-1}k(k-(k+1))\\&=n^2-\sum_{k=1}^{n-1}k\\&=n^2-\left(\sum_{k=1}^nk-n\right)\\&=n^2+n-\sum_{k=1}^nk\end{align}

우변의 급수를 이항하고 양변을 2로 나누면, 처음

n

개의 양의 정수의 합

:

\sum_{k=1}^nk=\frac{n^2+n}2

을 얻는다.^[1]

4. 2. 제곱수의 합

아벨 변환을 이용하여 제곱수의 합 공식을 유도할 수 있다. 마찬가지로, 임의의 거듭제곱수의 합을 귀납적으로 구할 수 있다.

제곱수의 합

:

\sum_{k=1}^nk^2=1+4+\cdots+n^2

을 생각하자.

:

a_n=b_n=n

이라고 하였을 때, 등차수열의 합의 공식에 따라

:

A_n=a_1+\cdots+a_n=1+2+\cdots+n=\frac{n^2+n}2

이다. 아벨 변환을 가한 결과는 다음과 같다.

:

\begin{align}\sum_{k=1}^nk^2&=\frac{n^2+n}2\cdot n+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k^2+k}2\cdot(k-(k+1))\\&=\frac{n^3+n^2}2-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k^2+k}2\\&=\frac{n^3+n^2}2-\sum_{k=1}^n\frac{k^2+k}2+\frac{n^2+n}2\\&=\frac{n^3+n^2}2-\frac12\sum_{k=1}^nk^2-\frac12\sum_{k=1}^nk+\frac{n^2+n}2\\&=\frac{n^3+n^2}2-\frac12\sum_{k=1}^nk^2-\frac{n^2+n}4+\frac{n^2+n}2\\&=\frac{2n^3+3n^2+n}4-\frac12\sum_{k=1}^nk^2\end{align}

이다. 따라서, 제곱수의 합은

:

\sum_{k=1}^nk^2=\frac{2n^3+3n^2+n}6

이다.

4. 3. 교대급수

교대급수 판정법에 따라,

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}n

는 수렴한다. 이 교대급수의 부분합에 대하여 아벨 변환을 적용하면 다음과 같다.

a_n=(-1)^{n-1}

,

b_n=\frac1n\qquad(n\in\mathbb Z^+)

로 놓으면,

A_n=a_1+\cdots+a_n=\begin{cases}1&n=1,3,5,\dots\\0&n=2,4,6,\dots\end{cases}

이다.

따라서 아벨 변환을 적용한 결과는 다음과 같다. (

\lfloor x\rfloor

는 바닥 함수).

:

\begin{align}\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}k&=A_n\cdot\frac1n+\sum_{k=1}^{n-1}A_k\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)\\&=A_n\cdot\frac1n+\sum_{k=1}^{n-1}A_k\cdot\frac1{k(k+1)}\end{align}

여기에 극한

n\to\infty

를 취하면 다음을 얻는다.

:

\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}k=\sum_{n=1}^\infty\frac1{2n(2n-1)}

새로운 급수는 비교 판정법에 의하여 수렴하므로, 교대급수 역시 수렴한다.

5. 뉴턴 급수를 이용한 표현

아벨 변환은 뉴턴 급수를 이용하여 다른 형태로 표현될 수 있다. 이는 초기 공식의 반복 적용 결과이다.

보조 수량은 다음과 같은 뉴턴 급수이다.

: $f_j^{(M)}:= \sum_{k=0}^M \left(-1 \right)^{M-k} {M \choose k} f_{j+k}$

: $G_j^{(M)}:= \sum_{k=j}^n {k-j+M-1 \choose M-1} g_k,$

: $\tilde{G}_j^{(M)}:= \sum_{k=0}^j {j-k+M-1 \choose M-1} g_k.$

여기서 ${n \choose k}$ 는 이항 계수이다.

6. 역사

19세기 노르웨이 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름이 붙여졌다.

7. 유사 개념

아벨 변환은 부분 적분 및 아벨의 합 공식과 유사하다. 부분 적분 공식은 다음과 같다.

: $\int_a^b f(x) g'(x)\,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_a^b f'(x) g(x)\,dx$

아벨의 합 공식은 다음과 같다.

: $\sum_{k=m+1}^n f(k)(g_{k}-g_{k-1})= \left(f(n)g_{n} - f(m) g_m\right) - \int_{m}^n g_{\lfloor t \rfloor} f'(t) dt.$

아벨 변환은 세미마팅게일에 대한 부분 적분 공식과도 유사한 형태를 띤다.

: $f_n g_n - f_m g_m = \sum_{k=m}^{n-1} f_k\Delta g_k + \sum_{k=m}^{n-1} g_k\Delta f_k + \sum_{k=m}^{n-1} \Delta f_k \Delta g_k$

아벨 변환은 특정한 체나 벡터 공간에서도 적용 가능하다.

7. 1. 부분 적분법

두 수열

\{f_k\}

와

\{g_k\}

가 있을 때, 다음 식이 성립한다.

:

\sum_{k=m}^n f_k(g_{k+1}-g_k) = \left(f_{n+1}g_{n+1} - f_m g_m\right) - \sum_{k=m}^n g_{k+1}(f_{k+1}- f_{k}).

전방 차분 연산자

\Delta

를 사용하면 더 간결하게 표현할 수 있다.

:

\sum_{k=m}^n f_k\Delta g_k = \left(f_{n+1} g_{n+1} - f_m g_m\right) - \sum_{k=m}^{n} g_{k+1}\Delta f_k,

이는 연속 함수에 대한 부분 적분 공식과 유사하다.

:

\int f\,dg = f g - \int g\,df,

부분 적분 공식에서 두 함수의 곱 중 하나는 적분되고(

g'

는

g

가 됨) 다른 하나는 미분되는(

f

는

f'

가 됨) 것처럼, 아벨 변환에서도 두 수열 중 하나는 합산되고(

b_n

은

B_n

이 됨) 다른 하나는 차분된다(

a_n

은

a_{n+1} - a_n

이 됨).

부정 합에 관한 부분 합 공식은 다음과 같다.

:

\sum_x f(x)(g(x+1)-g(x))=f(x)g(x)-\sum_x g(x+1)(f(x+1)-f(x))

이는 부정 적분에 관한 부분 적분의 이산적인 형태이다.

참조

_[1] 논문 Abel's lemma on summation by parts and basic hypergeometric series
_[2] 논문 Sums of powers of the natural numbers
_[3] 논문 Summation by Parts for Finite Difference Approximations for d/dx 1994-01
_[4] 논문 Summation by parts operators for finite difference approximations of second derivatives 2004-09
_[5] 논문 Time-Stable Boundary Conditions for Finite-Difference Schemes Solving Hyperbolic Systems: Methodology and Application to High-Order Compact Schemes 1994-04
_[6] 서적 해석학 입문 경문사 2007

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com